вторник, 10 января 2012 г.

Collinear divergencies

Как известно, в КХД есть три типа расходимостей: ультрафиолетовые, инфракрасные и коллинеарные. Ну, ультрафиолетовые — это фундаментальная беда, и мы как-то научились с ними жить, самосогласованно выбирая перенормируемые наблюдаемые.

Инфракрасные (мягкие) и коллинеарные расходимости есть нетривиальное следствие полевой динамики. В КХД они, в частности, приводят к нетривиальной перестройке спектра (конфайменту) и, как следствие, ограниченности предсказаний теории возмущений. Например, перекрытие инфракрасных и коллинеарных областей приводит к появлению судаковских дваждылогарифмов и всей той чудесной нетривиальной динамики, которую люди изучают вот уже почти сорок лет.

Выбирая различные полуинклюзивные наблюдаемые, можно получить предсказания чувствительные отдельно или к инфракрасной или отдельно к коллинеарной части расходимостей. Например, распределения партонов в протоне типичный пример инфракрасно-безопасных наблюдаемых, которые, тем не менее, несвободны от коллинеарных расходимостей. Факторизация последних приводит к тому, что концы всех формальных расходимостей можно «спрятать» в некоторые феноменологические/универсальные непертурбативные корреляторы по протонному состоянию, а обрезанные/регуляризованные логарифмические части приводят к так называемому нарушению бьёркеновского скейлинга — наблюдаемому во многих процессах и отличному тесту пертурбативной КХД.

Всем этим длинным предыдущим абзацем, я пытался сказать, что коллинеарные и мягкие сингулярности — это не одно и тоже, и даже не однофамильцы. Более того, недавний прогресс в последовательном пересуммировании «больших» логарифмов в полуинклюзивных сечениях (на английском их называют event shapes) связан исключительно со строгой факторизацией коллинеарных и мягких сингулярностей.

На самом деле, существует теория, где есть только мягкие сингулярности, а коллинеарных нет вообще. Это (па-пам!!) квантовая гравитация. В своё время сей факт был понят и представлен публике Стивеном Вайнбергом. Однако, в своей статье он опирался на некоторое (эйкональное) приближение взаимодействия гравитонов с материей, что, как казалось людям, не есть гуд.

Недавно прочитал вот эту статью. Она даже заслужила (должен сказать довольно бестолковый) synopsis от physics.aps.org. В этой статье товарищи Акури, Саотоми и Стерман утверждают, что опираясь на гравитационное тождество Уорда им удалось показать сокращение коллинеарных сингулярностей без опоры на эйкональное приближение.

На самом деле, с точки зрения нормального физика вопрос выеденного яйца не стоит. Почему возникают коллинеарные расходимости в КХД? Если мы рассмотрим коллинеарное расщепление кварка на кварк и глюон, летящих под углом θ ≪ 1 друг к другу, то сингулярное поведение функции Грина (пропагатора) даёт θ−2 в амплитуде и следовательно θ−4 в сечении (квадрат амплитуды). Фазовый объем коллинеарного расщепления можно оценить как θdθ, следовательно в сечении коллинеарное расщепление дает вклад dθ/θ3, что было бы слишком сингулярно.

На самом деле, реальный безмассовый кварк не может расщепиться на летящие строго параллельно кварк и глюон из-за законов сохранения спиральности и проекции углового момента. Поэтому в амплитуда расщепления должна быть пропорциональна, например, проекции спирального состояния глюона e1,±1(pg) на другое состояние с нулевой проекцией момента на направление импульса кварка e1,0(pq). Эта проекция, естественно из-за их ортогональности при pq||pg, порядка θ. Поэтому амплитуда расщепления пропорциональна θ−1, а сечение ∼dθ/θ, — это и есть логарифмическая коллинеарная расходимость.

В гравитации всё немного по-другому. Волновая функция излучённого гравитона есть просто тензорное произведение e2,±2 = e1,±1e1,±1. Следовательно проектирование на состояние с нулевой проекцией момента даст не θ, а θ2. Счение при этом будет пропорционально θdθ, что не только не сингулярно, но даже степенным образом подавлено.

На этом можно было бы и остановиться огород городить, если бы была доказана теорема факторизации, т.е. если бы коллинеарные логарифмы появлялись (вернее не появлялись) исключительно из внутренней динамикой коллинеарных полей, независимо от всего остального окружения. Такую теорему доказать не сложно, если применить методы развитые в КХД для SCET (soft collinear effective theory), о чём напишу позже. Устал.