среда, 18 сентября 2013 г.

Теорема Левинсона и солитоны

У Ромы очень хороший блог. Пишет он туда нечасто, но всё равно, я каждый раз нахожу что-нибудь для себя полезное. Вот, например, теорема Левинсона. Недавно пришло в голову какое-то её проявление для квантовых солитонов.

пятница, 3 мая 2013 г.

Угадай ответ

Какой классный вчерашний пост в Wolfram-Blog. Помните вот эту задачку:
— Я слышал, у тебя трое детей.
— Да, три сына.
— И сколько им лет?
— Ну... в сумме — тринадцать!
— Хм... ну ладно. Что ещё можешь сказать?
— Если возрасты перемножить, получится как раз столько‚ сколько видно окон у вон того дома.
— А... Однако этого все еще мало!
— Могу добавить, что мой старший сын — рыжий.

суббота, 6 апреля 2013 г.

Переход к абстрактным числам

Тут Миша Вербицкий поделился фото:



Источником странных действий учителя оказались некие методические указания для обучения школьников умножению. Почитал я комментарии, понял аргументы обоих сторон и призадумался.

понедельник, 11 февраля 2013 г.

Zeno's paradox

Функция, которую я хочу рассмотреть ниже, тесно связана с присоединёнными полиномами Лагерра (увидите почему). Давайте выразим присоединённые полиномы Лагерра через вырожденную гипергеометрическую функцию:
e−x L(n)(x) ∼ 1F1 (n, p, − x) ,
(1)
где n ≥ p — некоторые целые числа. Давайте положим, например, p = 2, a n будет произвольный параметр. Вернее даже так, хочу записать n = (2 − λ)/(1 − λ). Короче, хочу рассмотреть вот такую функцию:
fλ(x) = x 1F1 [(2 − λ)/(1 − λ), 2, − x] .
(2)
Давайте теперь вычислим все целочисленные моменты от этой функции:
gm(λ) =    ∞

0  
dx  xm fλ(x) .
(3)
Если λ = 0, то f0(x) = x e−x и, стало быть, нормализационный интеграл (нулевой момент g0(0)) равен единице. Однако если λ ≠ 0, то при x → ∞ наша функция убывает степенным образом fλ(x) ∝  x1/(λ − 1). Для того чтобы функция была интегрируемая, давайте ограничимся интервалом 0 ≤ λ ≤ 1. Легко убедится, что для всех 0 < λ < 1 нулевой момент исчезает, т.е. g0(λ) = 0. С точки зрения аналитического продолжения функции g0(λ) точка λ = 0 представляет собой устранимую сигулярность.

Также убеждаемся в том, что при 1/2 < λ < 1 исчезает первый момент. Опять же, аналитически продолжая с этого интервала значение этой функции g1(λ), мы должны признать, что первый момент равен нулю во всей комплексной плоскости λ.

Дальше вы, наверное, сами догадались: на интервале 2/3 < λ < 1 исчезает второй момент, 3/4 < λ < 1 — третий. Короче, классический парадокс Зенона: мы либо должны признать, что не можем вычислить ни один целочисленный момент, либо мы нашли функцию ортогональную всем мономам. Естественно, если вы сделаете преобразование Меллина, то получите прекрасную голоморфную функцию, которая равна нулю во всех целых положительных точках. Вот такие пироги.