понедельник, 6 февраля 2012 г.

Shuffle product

Математические статьи в педивикии такие математические:

Алгебра Хопфа – алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.

Спасибо, как говорится, за разъяснения. Всего-то хотел узнать, что такое shuffle algebra, оказалось, что это просто алгебра с shuffle product, где последнее определяется как сумма по всем перетасовкам двух слов. Вспомните такой метод тасование карт: колода разделяется на две части и они обе перемешиваются методом, напоминающим быстрое пролистывание страниц книги, как изображено на картинке. Так же определяется и тасование слов: группы букв перемешиваются с сохранением порядка в каждой группе.


A riffle shuffle being performed during a game of poker at a bar near Madison, Wisconsin, Johnny Blood

Забавно, что общеупотребительным математическим символом shuffle product служит кириллическая буква «ш». Например, произведение слов «shu» и «pro» выглядит так:
(shu)ш(pro)=proshu+prshou+prshuo+prsohu+pshrou+pshruo+pshuro+psrhou+psrhuo+srohu+shprou+shpruo+shpuro+shupro+sphrou+sphruo+sphuro+sprhou+sprhuo+sprohu
В Wolfram Mathematica к сожалению нет встроенной функции для такого произведения, навскидку написал такую функцию:
ShuffleProduct[word1_, word2_] :=Module[{chrs = Characters[word1 <> word2], nums}, nums = Range[Length[chrs]]; StringJoin@Permute[chrs, InversePermutation[#]] & /@ (Join[#, Complement[nums, #]] & /@Subsets[nums, {Length[Characters[word1]]}])]
хотя уверен, что можно и компактнее (ваши варианты?).

Shuffle algebra, кстати, применяется для изучения кратных полилогарифмов, а стало быть для вычисления фейнмановских интегралов (почитать про это можно тут arXiv:1005.1855). Ещё, например, эйкональные глюонные амплитуды (hot topic из-за суперсимметричной N=4 Yang-Mills theory) тоже образуют shuffle algebra.