Plane waves

Самым простым решением волновых уравнений являются так называемые плоские волны. Например, когда фазовая и групповая скорости одинаковы и постоянны, то плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z, можно представить как решение f(z±vt), где f произвольная гладкая функция.

Плоские волны бесконечные в плоскости x-y это, в некотором смысле, некоторая идеализация, т.е. нефизические решения. Например, полная энергия и полный импульс такой волны равны бесконечности. Однако зачастую нам важно только то, что плотность энергии и импульса у волны конечные, в этом случае мы аппроксимируем некоторый участок реальной волны плоской.

Физическая интуиция подсказывает, что математически точное, но «нефизическое» решение волновых уравнений может обладать какими-то плохими патологиями. Для электромагнитной волны я с таким не сталкивался. Однако есть класс метрик типа «плоская волна», которые являются точными решениями уравнений Эйнштейна (можно добавить и уравнения Максвелла в искривленном пространстве времени).

Чисто гравитационная плоская волна вообще забавная штука: полная энергия бесконечность, а плотность энергии в каждой конкретной точке не определена из-за принципа эквивалентности. Вот для нее физические патологии уже встают в полный рост.

Недавно глаз зацепился за древнюю статью Роджера Пенроуза [A Remarkable Property of Plane Waves in General Relativity, Rev. Mod. Phys. 37 (1965) 215], где он указал на следующую патологическую особенность гравитационных (+электромагнитных) плоских волн:

Давайте рассмотрим волну с профилем f(v) отличным от нуля в некоторой полосе v — Пенроуз называет такие волны “бутербродом”, т.е. до неё плоское пространство, после неё плоское пространство, а посередине искривлённое.

Так вот, давайте рассмотрим мгновенную световую вспышку, произошедшую в некоторой точке ещё до того как волна придёт в эту точку. Каждый луч движется по так называемой нулевой геодезической (две бесконечно близкие точки на такой кривой разделены нулевым интервалом ds² = g_μν dx^μ dx^ν = 0). Пенроуз показал, что независимо от профиля волны спустя конечное время после её прохождения все лучи снова сфокусируются в некоторой точке, лежащей на конечном расстоянии от начальной (фокусировка может быть с некоторым астигматизмом, но это не меняет сути будущих утверждений). То есть световой конус в таком пространстве времени имеет две вершины!

На самом деле соберутся, конечно, не все лучи. Луч который направлен параллельно скорости грав.-волны уже не догнать. Более точное утверждение звучит так:

Через каждую точку в плоской части пространства можно провести нулевую геодезическую Q₁ которая не пересечёт фронт волны (тот самый убегающий луч). Для этой геодезической существует другая нулевая геодезическая R₁ в противоположной плоской части “бутерброда”, такая, что точка на исходной геодезической Q₁ связана бесконечным гладким семейством нулевых геодезических (световой конус K₃) с другой точкой на R₁.

Эти две предельные геодезические Q₁ и R₁ являются касательными к K₃.

Картинка из статьи Пенроуза, демонстрирующая световой конус с двумя вершинами и две предельные нулевые геодезические.

Одним из следствий такой двойной фокусировки, является следующая патология:

в пространстве-времени гравитационной волны нельзя выбрать глобальную пространственно-подобную поверхность для задачи Коши.

Пространственно-подобную — это значит, что характеристики (а это и есть нулевые геодезические) должны пересекать эту поверхность только один раз. Глобальную — это значит, что её должны пересекать все нулевые геодезические.

На самом деле, можно показать, что любая пространственно-подобная гиперповерхность не может пересекать одновременно обе предельные линии Q₁ и R₁, в противоположном случае из семейства нулевых геодезических сходящихся к Q₁ и R₁ нашлась такая, которая пересекла бы гиперповерхность Коши дважды.

Давным давно, когда только начал изучать ОТО, прочитал в учебнике Вайнберга утверждение, что всякое риманово многообразие допускает изометрическое (т.е. с сохранением дифференциальных длин) вложение в плоское пространство более высокой размерности. Это означает, что не существует других искривлённых пространств кроме гладких кривых (гипер)поверхностей в плоском пространстве какой-то большой размерности.

На самом деле, я видимо запомнил это утверждение не совсем точно, поскольку, в том виде как оно сформулировано выше оно не верно. Действительно, доказано, что любое гладкое (аналитическое) риманово многообразие с сигнатурой −2 может быть локально вложено в десятимерное плоское пространство (A. Friedman, 1961). Однако нет аналогичной теоремы для глобального вложения (и как будет ясно ниже глобального вложения в общем случае нет).

Относительно глобального вложения существует другое сильное утверждение: любое положительно определенное Риманово многообразие может быть глобально изометрически вложено в плоское пространство ℝⁿ. Это утверждение называется «Теорема Нэша о регулярных вложениях». Помните Джо Нэша — гения-шизофреника создателя теории игр из фильма «Игры разума»? — так вот это он.

Возвращаясь к плоским волнам. Пенроуз отмечает, что для существования глобального вложения есть необходимый критерий: любая пространственно подобная гиперповерхность делит наше релятивистское многообразие на «прошлое» и «будущее». Если мы рассмотрим времени-подобные кривые отрезки в «будущем» полупространстве, то при фиксированном «дальнем» по времени конце их минковская длина ∫ds должна быть ограничена сверху. Иначе вложить в плоское псевдоевклидово пространство E^(1,n) не получится.

В вышеупомянутой статье Пенроуз показал, что из того факта, что у нас есть нулевые геодезические, которые не пересекают пространственно-подобную поверхность следует, что между этой поверхностью и точкой в «будущем» существуют времени-подобные кривые неограниченной минковской длины, то есть необходимое условие нарушается. То есть пространство-время с гравитационной волной не допускает изометрического вложения в E^(1,n) для любого n.