воскресенье, 23 мая 2010 г.

В память о Mathematical Games

Вчера, то есть 22 мая, Мартин Гарднер все. В детстве я читал его колонку в Scientific American, который в переводе на русский издавался как “В мире науки”. Книги читаю до сих пор. Как ведущий рубрики он получал очень много писем, некоторые, самые интересные, он приводил в книгах. Так, например, в стародавние времена, когда еще не была доказана ни теорема Ферма ни задача о раскраске карты четырьмя красками, в одной из колонок Мартин Гарднер предположил, что возможно эти проблемы являются неразрешимыми в Гёделевском смысле, и возможно математикам следует попытаться доказать их недоказуемость (в рамках, например, аксиоматики арифметики и комбинаторной топологии). В ответ он получил следующее письмо:

Уважаемая редакция!

Статья Мартина Гарднера о проблеме четырех красок доставила мне много удовольствия. Действительно, невозможно доказать, что доказать эту теорему невозможно. В самом деле, если утверждение теоремы (речь идет о теореме, утверждающей, что четырех красок достаточно для раскрашивания любой карты) ложно, то это, вне всяких сомнений, можно наглядно продемонстрировать, предъявив карту, которую нельзя раскрасить в четыре краски. Следовательно, если теорема недоказуема, то она должна быть верна. Это и означает, что мы не можем доказать, что доказать ее невозможно, ибо такое доказательство было бы эквивалентно доказательству теоремы и мы пришли бы к противоречию.

Аналогичное замечание применимо к любой теореме, ложность которой можно было бы продемонстрировать с помощью контрпримера, в частности к великой теореме Ферма. Такие теоремы могут быть недоказуемыми, но лишь в том случае, если они истинны. Поэтому мы никогда не можем знать, что они недоказуемы, и математики должны вновь и вновь предпринимать попытки доказать их. Ситуация складывается просто ужасная! Хорошим выходом из нее могло бы послужить обращение к физике, но “гёделевщина” может вторгнуться и в эту область ...


Это письмо Гарднеру очень понравилось и он привел его в книге “Математические головоломки и развлечения” (цитирую по русскому переводу Ю.А. Данилова, издательства “Мир” 1990). В общем, хороший был человек.