среда, 18 сентября 2013 г.

Теорема Левинсона и солитоны

У Ромы очень хороший блог. Пишет он туда нечасто, но всё равно, я каждый раз нахожу что-нибудь для себя полезное. Вот, например, теорема Левинсона. Недавно пришло в голову какое-то её проявление для квантовых солитонов.

Допустим у нас есть скалярное поле $\phi$ и потенциал $V(\phi)$, который допускает как тривиальные, независящие от координат, статические решения классических уравнений движения $\phi_0$ так и нетривиальные $\phi_{cl}(x)$. Давайте возбуждения над вакуумом (или несколькими вакуумами) называть мезонами, а компактные статические солитоны $\phi_{cl}(x)$ — барионами. Например, в одномерном случае, если у вас несколько простых вакуумов, то решение отвечающее переходу от одного вакуума к другому, т.е. доменная стенка, и будет таким барионом. Когда я говорю «компактный», я имею ввиду, что полная энергия бариона конечна:

$E_{B}=\int [\mathtt{d}x]\:\left[\frac{1}{2}\dot{\phi_{cl}}^{2}+\frac{1}{2}(\nabla \phi_{cl})^{2}+V(\phi_{cl})\right]$

Давайте теперь проквантуем поле над таким классическим решением  a la квазилассика, т. е., разложим полное поле на c-числовое классическое внешнее поле и  операторно-значные малые флуктуации: $\phi=\phi_{cl}+\hat{\phi}$. Амплитуда $\hat{\phi}$ растёт как $\sqrt{n}$ от числа мезонов, то наше разложение будет вполне пригодно для небольших чисел заполнения. 

Поскольку $\phi_{cl}$ решение классических уравнений движения, то разложение действия вблизи $\phi_{cl}$ начинается со второго порядка по  $\hat{\phi}$, что-то типа:

$S_{q}\to\int\,\mathtt{d}t\,[\mathtt{d}x]\,\left\{\frac{1}{2}\,\hat{\phi}\,\left[-\partial_{t}^{2}+\hat{D}^{2}\right] \,\hat{\phi}\right\},$

где $\hat{D}^{2}$ можно назвать обобщённым Лапласианом:

$\hat{D}^{2}=\nabla^{2}+\left.\frac{\partial^{2}V(\phi) }{\left(\partial\phi\right) ^{2}}\right\vert _{\phi=\phi_{cl}} ,$

Если мы теперь решим задачу на собственные значения этого Лапласиана  $\hat{D}^{2}\eta_{i}(x)=\omega_{i}^2 \eta_{i}(x)$, то $\hat{\phi}=\sum_{i}\hat{c}_{i}(t)\eta_{i}(x)$, а времезависящие амплитуды $\hat{c}_{i}(t)$ будут квантоваться как обычные осцилляторы.

Поскольку у нас барион компактный, то где-то вдали от него существует обычный вакуум с его обычными мезонными возбуждениями. Только теперь мезоны, рассеиваясь на  барионе (и, например, переходя из одного вакуума в другой), приобретают нетривиальную фазу рассеяния. Легко видеть, что задача на собственные значения функционального Лапласиана это просто стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в каком-то нетривиальном потенциале. Этот потенциал, может иметь связанные состояния. Они отвечают, или симметриям бариона (его трансляциям, вращениям и т. д. — это, так-называемые, нулевые моды), или возбуждениям бариона, которые можно рассматривать как барион-мезонные связанные состояния. Но обязательно будет и непрерывный спектр, с тем же самым дисперсионным соотношением, но с нетривиальной фазой рассеяния. Например, в одномерном случае ассимптотика будет такая:

$\eta(k,x)\to\exp\left\{i\,\left[kx\pm\frac{1}{2}\delta(k)\right]\right\},\quad x\to\pm\infty,$

где  $\delta(k)$ есть фаза рассеяния. Если мы теперь потребуем периодических граничных условий в кубе со стороной $L$, так что $L\to\infty$, то получим дискретный спектр:

$k_{n}L+\delta(k_{n})=2\pi n.$

Видно, что плотность состояний изменилась: вместо равномерного $\mathtt{d}k\,L/(2\pi)$, получаем:

$\frac{L}{2\pi}\,\mathtt{d}k\left[1+\frac{1}{L}\frac{\partial}{\partial k}\delta(k)\right].$

И тут настало время задуматься: если мы хотим вычислять какие-то параметры квантового бариона (массу, спектр, формфакторы и т. д.), то естественно вычитать те же квантовые поправки к вакууму без бариона. Как обычно, интегралы по непрерывному спектру степенным образом расходятся, поэтому необходимо вводить регуляризацию. Но вот вопрос, как согласованно ввести регуляризацию для мезонов с барионом и без бариона? Если вы вычитаете интегралы со степенными расходимостями, то ошибка в регуляризации может стоить вам конечного вклада.

Самый естественные метод ввести регуляризацию — это посадить систему на решётку, то есть рассматривать квантовое поле как механическую систему с очень большим, но конечным числом степеней свободы $N$. Тогда согласованная регуляризация — это просто одно и то же число  $N$ для тривиального и нетривиального вакуума. В случае тривиального вакуума мы можем вычислить полное число степеней свободы так:

$N=\frac{L}{2\pi}\,\int_{-\Lambda}^{\Lambda}\mathtt{d}k=\frac{L\Lambda}{\pi},$

где $\Lambda$ это искомый параметр обрезания. Для барионного случая надо быть аккуратнее, так как не все степени свободы находятся в непрерывном спектре. Помните, наше уравнение Шрёдингера может иметь и некоторое количество $N_{b}$ связанных состояний, т. е.:

$ N-N_{b}=\frac{L}{2\pi}\,\int_{-\Lambda_{1}}^{\Lambda_{1}}\mathtt{d}k\,\left[1+\frac{1}{L}\frac{\partial\delta\left(q\right)}{\partial k}\right]=\frac{\Lambda_{1}L}{\pi}+\frac{1}{2\pi}\left[\delta\left(\Lambda_{1}\right)-\delta\left(-\Lambda_{1}\right)\right].$

Теперь вспоминаем теорему Левинсона при $\Lambda_{1}\to\infty$:

 $\frac{1}{2\pi}\left[\delta\left(-\infty\right)-\delta\left(\infty\right)\right]=N_{b}$

и, вуаля,  $\Lambda_{1}=\Lambda$. Наверное, порядок аргументов можно и обратить. Если мы убедим себя, что минимальная длина волны есть просто размер системы делённый на число степеней свободы, то получим требование на фазу мезон-барионного рассеяния.