Теорема Левинсона и солитоны

У Ромы очень хороший блог. Пишет он туда нечасто, но всё равно, я каждый раз нахожу что-нибудь для себя полезное. Вот, например, теорема Левинсона. Недавно пришло в голову какое-то её проявление для квантовых солитонов.

Допустим у нас есть скалярное поле $\phi$ и потенциал $V\left(\phi \right)$, который допускает как тривиальные, независящие от координат, статические решения классических уравнений движения ${\phi }_0$ так и нетривиальные ${\phi }_{cl}\left(x\right)$. Давайте возбуждения над вакуумом (или несколькими вакуумами) называть мезонами, а компактные статические солитоны ${\phi }_{cl}\left(x\right)$ — барионами. Например, в одномерном случае, если у вас несколько простых вакуумов, то решение отвечающее переходу от одного вакуума к другому, т.е. доменная стенка, и будет таким барионом. Когда я говорю «компактный», я имею ввиду, что полная энергия бариона конечна:

$E_B=\int \left[dx\right][\frac{1}{2}{\stackrel{.}{{\phi }_{cl}}}^2+\frac{1}{2}(\nabla {\phi }_{cl}{)}^2+V\left({\phi }_{cl}\right)]$

Давайте теперь проквантуем поле над таким классическим решением  a la квазилассика, т. е., разложим полное поле на c-числовое классическое внешнее поле и  операторно-значные малые флуктуации: $\phi ={\phi }_{cl}+\hat{\phi }$. Амплитуда $\hat{\phi }$ растёт как $\sqrt{n}$ от числа мезонов, то наше разложение будет вполне пригодно для небольших чисел заполнения. 

Поскольку ${\phi }_{cl}$ решение классических уравнений движения, то разложение действия вблизи ${\phi }_{cl}$ начинается со второго порядка по  $\hat{\phi }$, что-то типа:

$S_q\to \int dt\left[dx\right]\left\{\frac{1}{2}\hat{\phi }[-{\partial }_t^2+{\hat{D}}^2]\hat{\phi }\right\},$

где ${\hat{D}}^2$ можно назвать обобщённым Лапласианом:

${\hat{D}}^2={\nabla }^2+{\frac{{\partial }^{2}V\left(\phi \right)}{{(\partial \phi )}^2}\mid }_{\phi ={\phi }_{cl}},$

Если мы теперь решим задачу на собственные значения этого Лапласиана  ${\hat{D}}^2{\eta }_i\left(x\right)={\omega }_i^2{\eta }_i\left(x\right)$, то $\hat{\phi }=\sum _i{\hat{c}}_i\left(t\right){\eta }_i\left(x\right)$, а времезависящие амплитуды ${\hat{c}}_i\left(t\right)$ будут квантоваться как обычные осцилляторы.

Поскольку у нас барион компактный, то где-то вдали от него существует обычный вакуум с его обычными мезонными возбуждениями. Только теперь мезоны, рассеиваясь на  барионе (и, например, переходя из одного вакуума в другой), приобретают нетривиальную фазу рассеяния. Легко видеть, что задача на собственные значения функционального Лапласиана это просто стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в каком-то нетривиальном потенциале. Этот потенциал, может иметь связанные состояния. Они отвечают, или симметриям бариона (его трансляциям, вращениям и т. д. — это, так-называемые, нулевые моды), или возбуждениям бариона, которые можно рассматривать как барион-мезонные связанные состояния. Но обязательно будет и непрерывный спектр, с тем же самым дисперсионным соотношением, но с нетривиальной фазой рассеяния. Например, в одномерном случае ассимптотика будет такая:

$\eta (k,x)\to \exp \left\{i[kx\pm \frac{1}{2}\delta (k\left)\right]\right\},x\to \pm \infty ,$

где  $\delta \left(k\right)$ есть фаза рассеяния. Если мы теперь потребуем периодических граничных условий в кубе со стороной $L$, так что $L\to \infty$, то получим дискретный спектр:

$k_{n}L+\delta \left(k_n\right)=2\pi n.$

Видно, что плотность состояний изменилась: вместо равномерного $dkL/\left(2\pi \right)$, получаем:

$\frac{L}{2\pi }dk[1+\frac{1}{L}\frac{\partial }{\partial k}\delta (k\left)\right].$

И тут настало время задуматься: если мы хотим вычислять какие-то параметры квантового бариона (массу, спектр, формфакторы и т. д.), то естественно вычитать те же квантовые поправки к вакууму без бариона. Как обычно, интегралы по непрерывному спектру степенным образом расходятся, поэтому необходимо вводить регуляризацию. Но вот вопрос, как согласованно ввести регуляризацию для мезонов с барионом и без бариона? Если вы вычитаете интегралы со степенными расходимостями, то ошибка в регуляризации может стоить вам конечного вклада.

Самый естественные метод ввести регуляризацию — это посадить систему на решётку, то есть рассматривать квантовое поле как механическую систему с очень большим, но конечным числом степеней свободы $N$. Тогда согласованная регуляризация — это просто одно и то же число  $N$ для тривиального и нетривиального вакуума. В случае тривиального вакуума мы можем вычислить полное число степеней свободы так:

$N=\frac{L}{2\pi }{\int }_{-\Lambda }^{\Lambda }dk=\frac{L\Lambda }{\pi },$

где $\Lambda$ это искомый параметр обрезания. Для барионного случая надо быть аккуратнее, так как не все степени свободы находятся в непрерывном спектре. Помните, наше уравнение Шрёдингера может иметь и некоторое количество $N_b$ связанных состояний, т. е.:

$N-N_b=\frac{L}{2\pi }{\int }_{-{\Lambda }_1}^{{\Lambda }_1}dk[1+\frac{1}{L}\frac{\partial \delta \left(q\right)}{\partial k}]=\frac{{\Lambda }_{1}L}{\pi }+\frac{1}{2\pi }[\delta \left({\Lambda }_1\right)-\delta (-{\Lambda }_1)].$

Теперь вспоминаем теорему Левинсона при ${\Lambda }_1\to \infty$:

 $\frac{1}{2\pi }[\delta (-\infty )-\delta (\infty )]=N_b$

и, вуаля,  ${\Lambda }_1=\Lambda$. Наверное, порядок аргументов можно и обратить. Если мы убедим себя, что минимальная длина волны есть просто размер системы делённый на число степеней свободы, то получим требование на фазу мезон-барионного рассеяния.