пятница, 3 мая 2013 г.

Угадай ответ

Какой классный вчерашний пост в Wolfram-Blog. Помните вот эту задачку:
— Я слышал, у тебя трое детей.
— Да, три сына.
— И сколько им лет?
— Ну... в сумме — тринадцать!
— Хм... ну ладно. Что ещё можешь сказать?
— Если возрасты перемножить, получится как раз столько‚ сколько видно окон у вон того дома.
— А... Однако этого все еще мало!
— Могу добавить, что мой старший сын — рыжий.
Меня всегда забавляло, как небольшое число не очень конкретной информации позволяет установить истину. Также очень впечатляют современные алгоритмы, которые просто из очень общего предположения об аналитической структуре ответа позволяют извлечь точное аналитическое выражение.

Например, большинство скалярных фейнмановских интегралов в размерной регуляризации выражается через обобщенные гипергеометрические функции. Разложения таких функций вблизи рациональных индексов зачастую имеют коэффициенты в виде полиномов из трансцендентных/иррациональных чисел. Поэтому, если вы знаете, что результатом вычисления многопетлевых радиационных поправок будет число, то скорее всего это и будет такой полином. Теперь если вы знаете только численный приближённый ответ, то далее в ход идут всякие алгоритмы типа: Ferguson-Forcade, HJLS, LLL, PSLQ, PSOS, а также Lagarias-Odlyzko, с помощью которых вы можете придать вашему ответу математическую красоту и завершённость.

В вышеупомянутом посте Wolfram-Blog, на конкретном примере показано как с помощью простой analytic conjecture (аналитическую гипотезы) о структуре ответа — разрешимость в радикалах (процедуры RootApproximant и ToRadicals делают остальную часть работы) можно дозаполнять таблицу Рамануджана.
Aesthetically pleasing: Мнимая часть, реальная часть, фаза и модуль функции Роджера-Рамануджана.

Конечно, они далее оговаривают, что гипотеза пришла не просто так, а есть следствие модулярного уравнения, но всё же кажется возможным, что человек с развитой математической интуицией мог ответ просто угадать, тем более, что касается численного счёта, возможности человеческого мозга кажутся поистине грандиозными. Однако не меньшее впечатление производит тот факт, что Рамануджан видимо либо вообще не использовал численные результаты, либо проводил их на подсознательном уровне.