Теорема Левинсона и солитоны

У Ромы очень хороший блог. Пишет он туда нечасто, но всё равно, я каждый раз нахожу что-нибудь для себя полезное. Вот, например, теорема Левинсона. Недавно пришло в голову какое-то её проявление для квантовых солитонов.

Угадай ответ

Какой классный вчерашний пост в Wolfram-Blog. Помните вот эту задачку:

— Я слышал, у тебя трое детей.
— Да, три сына.
— И сколько им лет?
— Ну... в сумме — тринадцать!
— Хм... ну ладно. Что ещё можешь сказать?
— Если возрасты перемножить, получится как раз столько‚ сколько видно окон у вон того дома.
— А... Однако этого все еще мало!
— Могу добавить, что мой старший сын — рыжий.

Переход к абстрактным числам

Тут Миша Вербицкий поделился фото:

Источником странных действий учителя оказались некие методические указания для обучения школьников умножению. Почитал я комментарии, понял аргументы обоих сторон и призадумался.

Zeno's paradox

Функция, которую я хочу рассмотреть ниже, тесно связана с присоединёнными полиномами Лагерра (увидите почему). Давайте выразим присоединённые полиномы Лагерра через вырожденную гипергеометрическую функцию:

e−x L(n)(x) ∼ 1F1 (n, p, − x) ,

(1)

где n ≥ p — некоторые целые числа. Давайте положим, например, p = 2, a n будет произвольный параметр. Вернее даже так, хочу записать n = (2 − λ)/(1 − λ). Короче, хочу рассмотреть вот такую функцию:

fλ(x) = x 1F1 [(2 − λ)/(1 − λ), 2, − x] .

(2)

Давайте теперь вычислим все целочисленные моменты от этой функции:

gm(λ) =    ∞ ∫ 0   dx  xm fλ(x) .

(3)

Если λ = 0, то f₀(x) = x e^−x и, стало быть, нормализационный интеграл (нулевой момент g₀(0)) равен единице. Однако если λ ≠ 0, то при x → ∞ наша функция убывает степенным образом f_λ(x) ∝  x^{1/(λ − 1)}. Для того чтобы функция была интегрируемая, давайте ограничимся интервалом 0 ≤ λ ≤ 1. Легко убедится, что для всех 0 < λ < 1 нулевой момент исчезает, т.е. g₀(λ) = 0. С точки зрения аналитического продолжения функции g₀(λ) точка λ = 0 представляет собой устранимую сигулярность.

Также убеждаемся в том, что при 1/2 < λ < 1 исчезает первый момент. Опять же, аналитически продолжая с этого интервала значение этой функции g₁(λ), мы должны признать, что первый момент равен нулю во всей комплексной плоскости λ.

Дальше вы, наверное, сами догадались: на интервале 2/3 < λ < 1 исчезает второй момент, 3/4 < λ < 1 — третий. Короче, классический парадокс Зенона: мы либо должны признать, что не можем вычислить ни один целочисленный момент, либо мы нашли функцию ортогональную всем мономам. Естественно, если вы сделаете преобразование Меллина, то получите прекрасную голоморфную функцию, которая равна нулю во всех целых положительных точках. Вот такие пироги. 

Увага как весьег, или национальный вопрос

Для выяснение взаимосвязи механизмов работы языка с той сложной аналитическо-синтетической деятельностью мозга, которую мы называем мышлением, проведено море исследований и написаны мега-тома научных отчётов и популярных статей. Общим местом стат тот факт, что язык является не столько формой выражения мыслей, то есть следствием мышления, сколько одним из орудий (или даже причин) мышления.

Iindependence of irrelevant alternatives

Давным-давно на ted.com видел доклад Дэна Ариэли «Контролируем ли мы свои собственные решения?»

Short Code

Есть такая задачка про n ферзей: на доске надо n×n надо расставить n ферзей, так чтобы ни один не был под боем.

Shuffle product

Математические статьи в педивикии такие математические:

Алгебра Хопфа – алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа.

Plane waves

Самым простым решением волновых уравнений являются так называемые плоские волны. Например, когда фазовая и групповая скорости одинаковы и постоянны, то плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z, можно представить как решение f(z±vt), где f произвольная гладкая функция.

Collinear divergencies

Как известно, в КХД есть три типа расходимостей: ультрафиолетовые, инфракрасные и коллинеарные. Ну, ультрафиолетовые — это фундаментальная беда, и мы как-то научились с ними жить, самосогласованно выбирая перенормируемые наблюдаемые.

Мегагранты: второй заход

Распределение по университетам. Сравнить с результами первого захода можно тут.

Go somewhere else

Губы Фейнмана уже сложились в привычное слово на букву fu, “на х.й” по-русски:

Копирайт вообще замечательный ©University of Auckland. Как говориться, Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist er nicht.

Тужик

Для начала цитата из моего любимого Джона Шемякина:

Люди в ЖЖ устойчиво делятся для меня на две основные группы: пыжики и тужики. В журналах у пыжиков фейерверки, ром и море, белизна парусов, звон дублонов и белозубость. У тужиков - размеренные жалобы, мёрзлая картошка на завтрак, анализ социально-экономической ситуации в стране, стоматологи, бывшие, помершие, стихи. И тужик, и пыжик могут жить облезлыми дверями друг напротив друга, водораздел идёт не по линии имущественного различия, а исключительно по пунктиру наличия или отсутствия самоиронии.

Y23 distribution

там в начале хрень какая-то — обрывки предыдущей лекции, а конце приведено три картинки сравнения с данными LEP