понедельник, 11 февраля 2013 г.

Zeno's paradox

Функция, которую я хочу рассмотреть ниже, тесно связана с присоединёнными полиномами Лагерра (увидите почему). Давайте выразим присоединённые полиномы Лагерра через вырожденную гипергеометрическую функцию:
e−x L(n)(x) ∼ 1F1 (n, p, − x) ,
(1)
где n ≥ p — некоторые целые числа. Давайте положим, например, p = 2, a n будет произвольный параметр. Вернее даже так, хочу записать n = (2 − λ)/(1 − λ). Короче, хочу рассмотреть вот такую функцию:
fλ(x) = x 1F1 [(2 − λ)/(1 − λ), 2, − x] .
(2)
Давайте теперь вычислим все целочисленные моменты от этой функции:
gm(λ) =    ∞

0  
dx  xm fλ(x) .
(3)
Если λ = 0, то f0(x) = x e−x и, стало быть, нормализационный интеграл (нулевой момент g0(0)) равен единице. Однако если λ ≠ 0, то при x → ∞ наша функция убывает степенным образом fλ(x) ∝  x1/(λ − 1). Для того чтобы функция была интегрируемая, давайте ограничимся интервалом 0 ≤ λ ≤ 1. Легко убедится, что для всех 0 < λ < 1 нулевой момент исчезает, т.е. g0(λ) = 0. С точки зрения аналитического продолжения функции g0(λ) точка λ = 0 представляет собой устранимую сигулярность.

Также убеждаемся в том, что при 1/2 < λ < 1 исчезает первый момент. Опять же, аналитически продолжая с этого интервала значение этой функции g1(λ), мы должны признать, что первый момент равен нулю во всей комплексной плоскости λ.

Дальше вы, наверное, сами догадались: на интервале 2/3 < λ < 1 исчезает второй момент, 3/4 < λ < 1 — третий. Короче, классический парадокс Зенона: мы либо должны признать, что не можем вычислить ни один целочисленный момент, либо мы нашли функцию ортогональную всем мономам. Естественно, если вы сделаете преобразование Меллина, то получите прекрасную голоморфную функцию, которая равна нулю во всех целых положительных точках. Вот такие пироги.