суббота, 6 апреля 2013 г.

Переход к абстрактным числам

Тут Миша Вербицкий поделился фото:



Источником странных действий учителя оказались некие методические указания для обучения школьников умножению. Почитал я комментарии, понял аргументы обоих сторон и призадумался.

Суть проблемы вот в чём: есть некая методика обучения детей умножению, которая сводится к правилу: умножение это размножение одного набора предметов некоторое количество раз:
(количество предметов)×(количество раз)=(новое количество предметов).
Принципиальным моментом в этой методике является неравнозначность сомножителей (предметы vs. разы), и, соответственно, от ребёнка требуется отличать одно от другого. То есть одна и та же операция 2×9=18 может встречаться в двух разных задачах:
Девять человек купили по два литра молока, сколько литров продано?:

(2 литра молока)×(9 человек → раз)=(18 литров).

Одном литром спирта можно угостить девять человек, сколько человек можно угостить двумя литрами?:

(9 человек)×(2 литра → раза)=(18 человек).
Ещё в древних книжках по арифметике «предметы и разы» называли множимое и множитель. Само субстантивированное прилагательное (то есть ставшее существительным) «множимое», как бы должно нам подсказать, что именно это мы сейчас и будем размножать с помощью множителя-кратности.

Необходимость различать два сомножителя обосновывается требованием от ребёнка некого (возможно мифического) «понимания» процедуры операции умножения. То есть не только перемножь числа (воспользуйся таблицей умножения), но и пойми что ты сделал — какие предметы реплицировал, какое количество раз, и что получил в результате.

И вот тут, мне кажется, совершается существенная методическая ошибка. Правильность «понимания» контролируется введением для ученика нового правила: если ты разобрался, что есть предметы, а что есть разы, то в операции умножения первым множителем (множимым) пиши предметы, а вторым — разы. Для учителя же вводится комплиментарное правило: если сомножители написаны в неверном порядке, то это считается эквивалентным тому, что «понимания» у ученика нет.

Методическая ошибка тут заключается в том, что в угоду педагогическим целям (не обсуждаем сейчас их обоснованность) жертвуется математическая истина — коммутативность умножения. Исправить эту ошибку можно так: почему бы просто не обязать ученика к множителю «разам» приписывать «(раз)», а множимому название предмета, сохраняя при этом свободу перестановки множимого и множителя:
2(литра)×9(раз) ≡ 9(раз)×2(литра).
Теперь по сути: число интуитивно понимается человеком как предикат, а не субъект. То есть говоря «два» мы изначально имеем ввиду двойку, не как некую сущность, а просто описательную приставку, например: «два дерева»=2(дерева), то есть «есть деревья, их два». То есть «два» это не просто «два», а обязательно «два чего-то»: «два алкаша»=2(алкаша), «два литра»=2(литра).

Прорывом античного сознания стало понимание, что операции над предикатами универсальны, так появилась абстрактные числа и арифметика.

Возможно педагоги знают, что понимание этой универсальности представляет основную трудность для ребёнка при изучении операции умножения. Для облегчения перехода к абстрактным числам, используется уже осознаваемое ребёнком свойство языка, что и у самих существительных может быть предикативная функция, то есть «два литра молока»=два(литры(молока)), то есть «есть молоко, его объём литры, их два». Таким образом, они вводят универсальные существительные-предикаты — «разы», т.е. 2≡2(раза) или
2(литра)=2(1(литр))=2(раза)(1(литр)).
Эти «разы» позволяют оформлять результат алгебраических операций, как универсальный предикат. Например, из выражения
2(литра)×9 (раз)=9(литров)×2(раза)
мы переносим 1(литр) направо и получаем
2(раза)×9(раз)(1(литр))=9(раз)×2(раза)(1(литр))=18(раз)(1(литр))=18(литров),
или просто
2(раза)×9(раз)=9(раз)×2(раза)=18(раз).
То есть, строго говоря, в описанной методике обучения умножению, не смотря на все негодования комментаторов картинки, равнозначность записей 2(литра)×9 (раз) и 9 (раз)×2(литра) не имеет отношения к коммутативности умножения — это как раз просто обычный произвол определения (типа вектор в координатной записи это столбец или строка), тождество, если хотите. Коммутативность — это содержательное равенство 2(литра)×9(раз)=9(литров)×2(раза) из которого следует универсальное равенство  2(раза)×9(раз)=9(раз)×2(раза).

Моё заключение: требование к ученику в задачах типа «Девять человек купили по два литра молока, сколько литров продано?» переводить человеков в разы, кажется разумным, т.к. способствует выработке понимания абстрактных чисел (хотя сама методика напоминает прыжок через пропасть в два шага). Контроль за выполнением этого требования путём проверки порядка сомножителей в алгебраической записи это грубая методическая ошибка.

Есть ещё один забавный аспект, который подчёркивается некоторыми участниками дискуссии:

Известно, что у школы есть и некие социальные функции. Тут они отражаются следующим образом: поскольку не существует естественно выделенного способа, как записывать сомножители 2(литра)×9(раз) или 9(раз)×2(литра), выбор осуществляется в духе прусской гимназии, т.е. произвольно, но строго: 9(раз) по 2(литра) оформляется как 2×9 и никак иначе.

То есть естественную свободу в выборе записи, отражающую коммутацию, ограничивают правилом, искусственно созданным для посторонних целей, и требуют его неукоснительного выполнения (отклонение карается снижением оценки на два балла). Сходство такой методики приучения к соблюдению глупых правил, придуманных взрослыми дядями, с дрессировкой кажется очевидным.