воскресенье, 6 июня 2010 г.

Судьба, как ракета, летит по параболе

Какие-то грустные посты последнее время получаются. В комнате, где я обитаю, сидят еще четыре человека: три японца и девушка из Вьетнама со смешным именем Do Thi Houang. Сегодня она меня подзывает и показывает фотографию очень старого и больного Андрея Вознесенского. Оказывается, что песня “Миллион алых роз”, написанная Вознесенским по новелле Паустовского о любви художника Пиросмани к французской актрисе, дико популярна во Вьетнаме даже в нынешнее, совсем не романтическое время. Стихи давно переведены на вьетнамский и каждая приличная вьетнамская девушка с детства знает их наизусть. Андрей Вознесенский умер совсем недавно, 1 июня. Автору “Юноны и Авось” мы все должны на прощанье поклониться в пояс.

Название этого поста взято из Вознесенского неслучайно. Два дня назад судьба, как ракета по параболе, долетела до конца для Владимира Арнольда. Также как Вознесенский, он не перешагнул даже 80-летний рубеж. Я, конечно, не ждал, что объявят всесоюзный траур, но почему-то в ведущих СМИ, между актуальными для России новостями про девочку Лену Мейер-Ландрут и недевочку Хатояму, не нашлось и пары строк для этого математика. Поэтому, я хотел бы рассказать про одну книжку Арнольда, который хоть и был математиком, но обладал таким физическим мышлением, что и не снилось нашим мудрецам. (Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера очень сильно нравиться физикам, в отличии от обычной математической “веерштрасовщины”.) История, о которой пойдет речь ниже, вызвала у Арнольда досаду, выраженную ироничным замечанием:

“В прошлом такая дискуссия была бы невозможной, но теперь ситуация изменилась благодаря тому, что дух современной математики проник и в ряды физиков, нанеся им, как это станет ясно, некоторый ущерб”.

Прежде чем продолжить развивать метафору про параболу и Арнольда, я должен сильно отвлечься и рассказать предысторию связанную с одной статьей, которая была опубликована в июльском номере American journal of physics (1982) 610, автор Robert Weinstock. В русском переводе Ю.А. Данилова статья вышла в сборнике “Физика за рубежом”. Называется она никак не меньше а “Разоблачение вековой легенды: ‘Математические начала натуральной философии’ Ньютона и орбиты движения в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния”. В этой статье автор, как это понятно из названия, высказывает сомнения в том, что Ньютону удалось показать, что из закона всемирного тяготения следует первый закон Кеплера, т.е., что тела движутся по коническим сечениям.

Статья очень мутная, и я не уверен, что смогу донести ее смысл адекватно (читайте сами). Суть вот в чем: вряд ли стоит сомневаться в том, что Ньютону был известен второй закон Ньютона, F=ma. Решая это уравнение, можно, конечно, установить вид орбит, что Ньютон и сделал в следствии 3 к предложению XLI “Начал” для центральной силы обратно пропорциональной... кубу расстояния (заслуженный профессор Морской Академии А.Н. Крылов, автор русского перевода “Начал” с латыни, поясняет, что здесь Ньютон описывает траекторию r = a ⁄cos ). Конечно, удивительным фактом, является то, что он не сделал этого для силы тяготения. Товарищ Винсток предположил (на мой взгляд вполне правдоподобно), что Ньютон просто не смог взять соответствующий интеграл, как тогда говорили, “в квадратурах”. Вместо этого Ньютон поступил вот как: он для всех траекторий совпадающих с коническими сечениями показал, что сила в каждой точке траектории обратно пропорциональна квадрату расстояния и направлена к фокусу. То есть, говоря современным языком, он предъявил и детально описал все решения уравнений движения. Как заметил Иоганн Бернулли, доказательство было не полным в первом издании “Начал”, поскольку там отсутствовало два важных пункта: первый о том, что коническое сечение, вернее траектория, полностью определяется начальной координатой, скоростью и силой, второй — что для любого начального условия найдется своя “коническая” траектория. Во втором издании соответствующий предложения были оговорены. Опять таки, перефразируя все это на современном языке, можно сказать, что Ньютон доказал теорему существования решений для уравнений движения. Как заметили потом въедливые математики, полное доказательство первого закона Кеплера должно включать не только теорему существования, но и теорему единственности.

Прежде чем продолжить про теорему единственности, следует заметить, что первоначальное замечание Винстока о том, что из рассуждений (“коническая” траектория) ⇒ (вид силы) вообще говоря не следует утверждение (вид силы) ⇒ (“коническая” траектория), трансформировалось в результате дискуссий в то, что рассуждения основанные на уравнениях движения подразумевают второй закон Ньютона, то есть (цитируя Винстока) “существование закона изменения величины центральной силы, вынуждающего тело (при подходящих начальных условиях) двигаться по данному коническому сечению (с силовым центом в одном из фокусов)”. Товарищ Винсток утверждает, что из вычислений Ньютона совсем не видно, что он (Ньютон) опирался на этот закон. При этом сам факт открытия совершенно общего второго закона Ньютона Ньютоном Винсток не ставит под сомнение. Например в предложении XLI решается такая задача “Предполагая центростремительную силу какою угодно и допуская квадратуру кривых, требуется найти как траекторию, по которой будет двигаться тело, так и закон его движения по найденной траектории
Понять самого Ньютона нелегко, но пояснение Крылова такое “В этой задаче дается общий способ определения движения тела под действием центральной силы, причем этот способ лишь с внешней стороны и обозначениями отличается от теперешнего.” Далее Крылов поясняет, что Ньютон выводит формулу:

r2 = Ldr 2m(E−U−L2(2mr2)).
Натурально шизофрения. Типа одна половина мозга знает, что сила вынуждает тело двигаться по заданной траектории, а вторая не знает. На самом деле ясно, что из рассуждений Ньютона следует, что тело будет двигаться по заданному коническому сечению (определяемого начальной скоростью и координатой) даже если сила изменяется заданным образом только на этой линии. Единственное, что остается добавить, что при разборе реальных достижений авторитетов прошлого, не следует забывать о лемме Арнольда, гласящей что “любая именная теорема доказана не тем, в честь кого названа. Включая лемму Арнольда”.

Теперь про теорему единственности. Арнольд здесь резонно замечает, что Ньютон хорошо понимал, что зависимость траектории r(t) от начальных условий гладкая, а тогда из существования решения с данными начальными условиями следует и его единственность. Процитируем Арнольда:

Но в действительности у Ньютона все доказано и по более строгим меркам. Верна такая теорема. Пусть имеется дифференциальное уравнение

dx/dt = v(t,x)

и пусть для любого начального условия a предъявлено решение x(t,a) с x(0,a) = a, причем это решение гладким (т.е. бесконечно дифференцируемым) образом зависит от a. Тогда для этого уравнения верна терема единственности.

Теорема эта доказывается очень легко. Из существования гладко зависящего от начальных данных решения следует (локальный) диффеоморфизм, который выпрямляет исходное поле направлений, приводя его к стандартному виду поля горизонтальных направлений (наше решение и дает этот диффеоморфизм: (t,a) ←(t,x(t,a))). А для выпрямленного поля теорема единственности, очевидно, выполнена, так как уравнение принимает вид da/dt = 0.

Таким образом, из существования решения единственность, вообще говоря, не следует, но все будет в порядке, если предъявленное решение гладко зависит от начального условия.

Ниже Арнольд замечает:

Можно, конечно, возразить, что Ньютон не знал этой теоремы. Действительно, он ее не формулировал в таком виде, как это сейчас сделали мы. Но по существу он ее наверняка знал, так же как и многие другие приложения теории возмущений, — математический анализ Ньютона в значительной мере и есть далеко развитая теория возмущений.

Дальше своими словами. Конечно, можно всегда расширить класс функций и дифференциальных уравнений, для которых теорема существования выполнена, а теорема единственности нет. Однако Ньютон при описании физической реальности “пользовался” только гладкими функциями, подразумевая (может и не в “Началах”, где он упорно избегает флюксий), что изобретенные им дифференциальные уравнения, в некотором смысле, есть следствия единственности (читай гладкости, дифференцируемости), которой требовала его физическая интуиция, а не наоборот.

Конечно, каждый из физиков-теоретиков сталкивался с ситуацией, в которой только строгий математический анализ позволяет получить конечный ответ. Чем строже наше решение с математической точки зрения, тем надежнее мы стоим на ногах. К тому же, история науки знает достаточно случаев, когда уравнения сами подсказывали “физическую реальность”. Тем более удивительно слышать от математика Арнольда фактически призыв физикам больше доверять своей интуиции.

Книжка, откуда я все это цитирую, называется “Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук — первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристалов” («Наука», 1989). Книжка небольшая, практически брошюра, 96 страниц. Как гласит аннотация, написана на основе лекции для студентов Московского Математического Общества, которая была посвящена трехсотлетию “Математических начал натуральной философии”. Для человека интересующегося историей естествознания, обязательна к прочтению.