Задача про брусок

В своем блоге Игорь Иванов предложил интересную задачку: сверху на гладком (без трения) цилиндрическом штырьке лежит брусок, надо найти частоту малых колебаний (см. рисунок ниже). Дело в том, что очень давно подобную задачку мне задавал Веня Абалмасов, когда он был еще того... в ИЯФ. Его задачка формулировалась так: брусок касается штырька своим краем — нужно найти предельный угол наклона бруска, когда он начинает падать по разные стороны от штырька.

Из этого рассмотрения видно, по крайней мере, что при предельном угле брусок не упадет ни вправо ни влево, а значит должны быть колебания. Задача, на самом деле, была про карандаш и палец — по ней хорошо видно, чем занимаются физики на работе.

Для решения задачи давайте введем две координаты a и β, как показано на рисунке:

Кинетическая энергия это сумма квадратов скоростей центра масс v_x и v_y плюс вращение:

T =   M  [β′ 2 (a2 + b2) + a' 2 − 2β' a' b] +   I β' 2  , 2 2

(1)

где последний член отвечает кинетической энергии вращения вокруг центра масс бруска, I — момент инерции бруска. Потенциальная энергия — это просто высота от штырька до центра инерции бруска:

U = Mg (b cos β + a sin β)

(2)

Лагранжиан, естественно, равен разности кинетической и потенциальной энергий: L = T − U. Уравнения движения получаются из лагранжиана стандартным способом:

{ β″ (a² + b²) + 2β'aa' − a″ b + (I/M) β″ = g (b sin β − a cos β), a″ − β″ b = β′ ²a − g sin β.	(3)
	(4)

Наверное, уже пора ввести безразмерные переменные:

x = a/b,   ρ = I/(Mb²),   ω2 = g/b.

(5)

При этом еще удобно из уравнения (3) вычесть (4). Даже невооруженным взглядом видно, что единственный подходящий по размерности параметр это ω, следовательно, ответ для частоты должен быть вида ω f(ρ). В безразмерных переменных (5) уравнения движения принимают следующий вид:

{ β″ (ρ + x²) + 2β'xx' = − ω²x cos β, x″ − β″ = β′ ²x − ω² sin β.	(6)
	(7)

Давайте посмотрим на эти уравнения внимательнее. Малого параметра никакого нет (как обычно). Следовательно малые колебания — это малые безразмерные амплитуды. Если мы во втором уравнении пренебрежем высшими степенями β, то увидим, что x ∼ β. Последняя оценка позволяет построить линейное приближение к первому уравнению. После пренебрежения всеми нелинейностями получаем следующую систему уравнений:

{ β″ρ = − ω²x, x″ − β″ = − ω²β.	(8)
	(9)

Подставляя x из уравнения (8) в (9), получаем дифференциальное уравнение четвертой степени:

β″″ρ + ω2β″ = ω4β.

(10)

Решение, естественно, ищем в виде β = exp(iωλt), где λ и есть та самая, неизвестная функция ρ. Уравнение для нее получается следующее:

ρλ4 − λ2 − 1 = 0.

(11)

Решение этого биквадратного уравнения тривиально:

λ2 =    1± √1+ 4ρ  . 2ρ

(12)

Естественно, два корня этого уравнения нам не подходят, но другие два вполне сгодятся:

λ =  ±√  1+ √1+ 4ρ  . 2ρ

(13)

Если нигде не ошибся, то вот, собственно, и решение. На самом деле я этот пост написал совсем не для того, чтобы показать, что я знаю что такое лагранжиан. Оказывается, что и в html можно сразу писать формулы в достаточно красивом виде даже без MathML, что этот пост и должен продемонстрировать. Формулы должны нормально отображаться даже на iPhone, то есть на таком ёбаный стыд браузере как Safari. И даже на Хроме, который вообще ничего не может. Может переписать TreeOfKnowledge в html? Я уже и черновой вариант программки подготовил.

В каком-то из номеров “Компьютерры”, когда она еще была жива, было интервью с создателем CSS, который теперь вроде на Opera работает. Так вот, он говорил, что в html есть все средства для типографики по самым высоким стандартам и даже показывал напечатанную книгу, которая была полностью подготовлена в html.

UPD. Зашел в блог Игоря, а он оказывается еще решение не выложил.