вторник, 5 октября 2010 г.

Интеграл

Есть такая редкая, но очень тяжелая болезнь — интегралы точно вычислять. Сегодня пришел на работу. Сел. И взял следующий пятикратный интеграл:
I = d{x,y,r,a,b} (xy)d/2 − 1 × r(d − 3)/2(1 − r)(d − 3)/2 × [1 + a ] ad − 2(1 − a)d − 1bd − 2 ,
(x + y)2 − 4r xy(1 − a)by(1 − a)b + xa
(1)
где интегрирование ведется по гиперкубу {x,y,r,a,b}∈[0, 1]5. Ответ оказался следующим:
I = Γ(d − 1)Γ(d/2 − 1/2)2
Γ(2d − 2)(2d − 3)(d − 2)2
 × 
d − 1 {4F3 [d, 1, 1, d − 2 | 1 ] + 4F3 [d − 2, 1, 1, d − 2 | 1 ] }
d − 22d − 2, d/2, d − 12d − 2, d/2, d − 1
 + 2 × 3F2 [1, 1, d − 2 | 1 ]
 .
2d − 2, d/2
(2)
И это всё потому, что я теперь умею гипергеометрии быстро сворачивать ;)