1. Это так называемая задача Фейнмана. Она упоминается в книжке “Вы конечно шутите, мистер Фейнман”, хотя сам Фейнман говорил, что услышал её от кого-то в Принстоне.
На картинке изображен примитивный разбрызгиватель для лужайки. Если в него налить воды и подвесить на нитке, то вода начнет выливаться, а он начнет вращаться по часовой стрелке (если смотреть сверху). Вопрос, а куда будет вращаться разбрызгиватель, если его пустым частично погрузить в воду. Уровень воды, естественно, ниже верхнего края цилиндра.
2. Задачка из письма Фейнмана. Скопирую её сюда:
Показать, что поле снаружи проводника с полостью не зависит от конкретного положения зарядов, помещенных внутрь этой полости.
Вчера ехал из сушечной и в голову пришло две задачки, условно говоря, на принцип эквивалентности.
3.
Дана шарообразная Земля массы M и радиуса R. По поверхности земли ходят люди с контрольными грузиками привязанными к динамометрам. Земля начинает двигаться прямолинейно с ускорением a. Вопрос: что показывают динамометры?Естественно, особый интерес представляет случай a = GM/R2. Задача, как вы понимаете, крайне насущная, я собираюсь построить космический корабль и улететь в другую галактику, а вопрос с перегрузками так никто и не решил.
4. Опять про космические корабли. Во многих фантастических кораблях силу притяжения создают с помощью вращения корпуса корабля. Центробежная сила воспринимается локально как сила тяжести. Например, в начале фильма Стенли Кубрика один из членов экипажа занимается пробежкой в таком вот вращающемся корабле. Итак, задача:
Космический корабль представляет собой цилиндр радиуса R, вращающийся вокруг своей оси с частотой ω. По внутренней поверхности цилиндра бежит человек по кольцу, т.е. окружности цилиндра, со скоростью v (относительно пола) в сторону противоположную вращению. Какая сила будет на него действовать?Вообще, конечно, это было бы крайне прикольно побегать по такому цилиндру. Особый интерес вызывает скорость бегуна v0 = ωR и вопрос: можно ли разогнаться быстрее этой скорости?
5. Последняя задача не удовлетворяет ни одному из вышеприведенных критериев, но тоже интересна. Даны две ракеты, разделенные расстоянием a. Одновременно, в момент t = 0 по часам лабораторной системы, они начинают ускоряться с ускорением g в одном направлении по оси, содержащей отрезок, их соединяющий (кажется, у меня проблемы с причастными оборотами). Задача об релятивистской ракете решается на первом курсе нашего университета (или смотрите Ландау-Лифшиц т.2, задача к §7). Ответ для координаты ракеты выглядит условно так
| x(t) = x(0) + | t ∫ 0 | v(t') dt' |
Задачка, как вы понимаете, ответа не требует. Просто покопаться, подумать на досуге. Две ракеты это, естественно, я и потолок в моем офисе (в который я сейчас смотрю), находящиеся в поле тяжести и на расстоянии примерно двух с половиной метров. А вы знаете, что можно двигаться в одном направлении и по одной оси с лучом света со скоростью меньше скорости света, но так, что луч света вас никогда не догонит?
Задачи, Гриша, хорошие, но тарджет-групп, по-моему, не твоего блога. Школьники старших классов в последнюю не входят из-за использования ненормативной лексики (не то, чтобы они ее не знали, но непедагогично). Значит, можно спойлить. Навскидку же:
ОтветитьУдалить1. Кажется, что вращения в установившемся режиме не будет. Вопрос только в том что такое установившийся режим? Из сохранения момента вроде все-таки следует замедляющееся движение против часовой.
2. Это просто: Поверхность проводника --- эквипотенциаль, а какая --- однозначно определяется тем же законом Гаусса (по большой сфере.)
3. Зависит от того, как это ускорение создается. Если реактивными двигателями, то динамометры покажут понятно какое изменение ускорения.
4. Это вообще обманка какая-то. Даже студента не проведешь. Кстати, бежать со скоростью больше, чем $\omega R$ можно, если че.
5. Эту задачу с тросом между ракетами где-то видел. Вопрос звучал как-то так: когда порвется трос.
А мне вот как-то один экспериментатор задал вопрос: вращается диск радиуса r и мы измеряем в нашей системе его окружность. Обложили линейками и мерим. Вследствии того же лоренцевского сокращения длина окружности получается меньше 2\pi r. Вопрос: где подвох?
Рома, какая-такая тагет-груп? Если ты не заметил, то я тут вообще один. Тихо сам с собою я веду беседу.
ОтветитьУдалить1. Фейнман сказал, что найти решение этой задачи очень просто — ясные аргументы сразу приходят в голову. Единственная проблема, что столь же ясные аргументы приводят к противоположному решению. Рассмотри, например, случай, когда масса лейки ноль.
2. Мне кажется, тут есть вот какой ещё интересный момент. Уравнение Лапласа второго порядка, а решение первой краевой задачи (в смысле, Дирихле) однозначно, то есть достаточно задать функцию на границе, но не её производную. Однозначность решения первой краевой задачи следует из принципа максимума для гармонической функции. Который, в свою очередь, есть тоже следствие теоремы Гаусса (ну ещё теоремы Ролля, если хочешь).
3. Я, конечно, имел ввиду ускорение реактивными двигателями. Особый интерес должна вызывать “задняя” (относительно направления реактивного ускорения) точка Земли.
4. Эту задачу я не додумал до какого-то интересного финала. Вопрос со скоростью вообще идиотский (в свете предела ω = 0).
5. Ну да, формулировка с тросом лучше. Особенно, если учесть, что расстояние между ними с точки зрения наблюдателя из задней ракеты может быть бесконечным. Вообще задача отличная.
6. Хорошая задача. Форма круглая, радиус перпендикулярен скорости. — Налицо явное противоречие между физикой и математикой ;)
1. Ну пусть масса ноль. Но момент импульса должен сохраняться. Если лейка просто стоит (или тем более крутится по часовой), скорость воды вблизи сопел дает ненулевой момент импульса (направленный по правилу буравчика вниз). Поэтому я и думаю, что лейка (а с ней и вода внутри и немного снаружи вблизи стенок) должна вращаться в противоположную сторону. Но поскольку внутри вода накапливается, то будет замедление. Вопрос --- по какому закону? Ведь трение воды о внешние стенки тоже нужно учитывать.
ОтветитьУдалить4. Любопытно промыслить как придется действовать при приближении к критической скорости.
Да, кстати, насчет 2. Для неограниченной области решение уравнения Лапласа не фиксируется граничными условиями. Например, если проводник --- единичный шар, то к решению можно добавить, например, $a(r^{-1}-1)$. Так что нужно еще потребовать, чтобы функция спадала на бесконечности.
ОтветитьУдалитьЯ имел ввиду, конечно, обобщенную границу. Ведь преобразованием инверсии бесконечность можно перевести в ноль. Предел $\phi\to a$ отвечал бы наличию заряда в нуле для инверсного потенциала. Ну то есть, конечно, нужно требовать ноль на бесконечности.
ОтветитьУдалитьПро предел нулевой массы я подумал, что лейка должна двигаться так, чтобы вода двигалась строго радиально, т.е. с нулевым моментом. Но сейчас понял, что это не для всех форм трубок возможно.
ОтветитьУдалитьВообще для картинки, которая изображена, можно придумать ещё следующее рассуждение. Представим, что мы погружаем лейку с трубками запаянными небольшими кружками. Давление действует перпендикулярно поверхности и сумма всех сил равна нулю. Теперь представим, что кружки исчезают, тогда появляется нескомпенсированный момент сил действующий на лейку. Т.е. давление на кружки удерживало лейку от вращения. Но это, как ты понимаешь, тоже слишком упрощенная картинка.