воскресенье, 26 декабря 2010 г.

Навскидку

Знакомые экспериментаторы стали упрекать меня, что я слишком много мучаю их математическими задачами. А они, стало быть, любят задачи физические. Вот что хорошо в задачах которые вы можете найти по тегу задача? То, что они изящны по формулировке, просты (т.е. типа олимпиады на уровне школы или максимум города), легки для запоминания, и что самое важное, решаются в уме, т.е. без листочка и карандаша. А физических задач я таких не знаю. Вот вам, навскидку, несколько. Немного, но чтобы помучить хватит.


1. Это так называемая задача Фейнмана. Она упоминается в книжке “Вы конечно шутите, мистер Фейнман”, хотя сам Фейнман говорил, что услышал её от кого-то в Принстоне.
На картинке изображен примитивный разбрызгиватель для лужайки. Если в него налить воды и подвесить на нитке, то вода начнет выливаться, а он начнет вращаться по часовой стрелке (если смотреть сверху). Вопрос, а куда будет вращаться разбрызгиватель, если его пустым частично погрузить в воду. Уровень воды, естественно, ниже верхнего края цилиндра.

2. Задачка из письма Фейнмана. Скопирую её сюда:
Показать, что поле снаружи проводника с полостью не зависит от конкретного положения зарядов, помещенных внутрь этой полости.

Вчера ехал из сушечной и в голову пришло две задачки, условно говоря, на принцип эквивалентности.

3.
Дана шарообразная Земля массы M и радиуса R. По поверхности земли ходят люди с контрольными грузиками привязанными к динамометрам. Земля начинает двигаться прямолинейно с ускорением a. Вопрос: что показывают динамометры?
Естественно, особый интерес представляет случай aGM/R2. Задача, как вы понимаете, крайне насущная, я собираюсь построить космический корабль и улететь в другую галактику, а вопрос с перегрузками так никто и не решил.

4. Опять про космические корабли. Во многих фантастических кораблях силу притяжения создают с помощью вращения корпуса корабля. Центробежная сила воспринимается локально как сила тяжести. Например, в начале фильма Стенли Кубрика один из членов экипажа занимается пробежкой в таком вот вращающемся корабле. Итак, задача:
Космический корабль представляет собой цилиндр радиуса R, вращающийся вокруг своей оси с частотой ω. По внутренней поверхности цилиндра бежит человек по кольцу, т.е. окружности цилиндра, со скоростью v (относительно пола) в сторону противоположную вращению. Какая сила будет на него действовать?
Вообще, конечно, это было бы крайне прикольно побегать по такому цилиндру. Особый интерес вызывает скорость бегуна v0ωR и вопрос: можно ли разогнаться быстрее этой скорости?

5. Последняя задача не удовлетворяет ни одному из вышеприведенных критериев, но тоже интересна. Даны две ракеты, разделенные расстоянием a. Одновременно, в момент t = 0 по часам лабораторной системы, они начинают ускоряться с ускорением g в одном направлении по оси, содержащей отрезок, их соединяющий (кажется, у меня проблемы с причастными оборотами). Задача об релятивистской ракете решается на первом курсе нашего университета (или смотрите Ландау-Лифшиц т.2, задача к §7). Ответ для координаты ракеты выглядит условно так
x(t) = x(0) +    t

0  
v(t') dt' 
где v(t) есть скорость, которая не зависит от x(0). То есть в любой момент времени в лабораторной системе скорости ракет одинаковы, и расстояние между ними не меняется. Но давайте вспомним, как решается задача об ускоренной ракете. В любой момент времени мы можем перейти в мгновенно сопутствующую собственную систему ракеты, где её скорость v = 0, а ускорение g. Скорости у обоих ракет одинаковы, значит в мгновенно сопутствующей собственной системе обе они покоятся. То есть не движутся. То есть расстояние между ними в их системе отсчета остается одним и тем же. А каким? В момент времени t = 0 мгновенно сопутствующая система совпадала с лабораторной неподвижной системой и расстояние было a. Значит и в момент времени t в системе, движущейся со скоростью v(t), расстояние тоже будет a. Но позвольте, оно ведь a и в лабораторной. Как же быть с релятивистским сокращением расстояний?

Задачка, как вы понимаете, ответа не требует. Просто покопаться, подумать на досуге. Две ракеты это, естественно, я и потолок в моем офисе (в который я сейчас смотрю), находящиеся в поле тяжести и на расстоянии примерно двух с половиной метров. А вы знаете, что можно двигаться в одном направлении и по одной оси с лучом света со скоростью меньше скорости света, но так, что луч света вас никогда не догонит?