пятница, 25 февраля 2011 г.

Повезло

Сегодня чуть не помер от испуга. Всё написанное ниже прошу рассматривать как пост-стрессовый выплеск эмоций.

Готовясь к докладу в Карнеги-Меллон, решил разобраться (чисто для себя), как доказываются в общем случае факторизационные теоремы для SCET с безмассовыми частицами. Сама по себе SCET — это не теория ни какая, а просто КХД переписанная в брейтовской системе отсчета (boosted QCD), поэтому в общем случае никакого счастья от неё нет. В брейтовской системе отсчета удобно пользоваться светоконусными координатами — вместо обычных миньковских координат используют судаковские параметры, т.е. вот такое разложение
pμ= (p·n)n+μ/2 + (p·n+)nμ/2 + p,
(1)
где n2 = (n+)2p·np·n+ = 0, и ещё n·n+ = 2.

“Брейтовская система отсчета” означает, что у вас есть иерархия светоконусных компонент: p·n∼1, p·n+λ2 и pλ. Такая иерархия компонент импульсов приводит к иерархии компонент полей (говорят power counting), но поскольку амплитуды КХД однородны по масштабу импульсов, то можно подобрать калибровку (светоконусную n·A = 0) в которой амплитуды будут однородны по λ, то есть все члены будут одного порядка. Например, p2 = (p·n)(p·n+) + (p)2 — все члены одного порядка, ни чем не пренебрежёшь. Поэтому многие вычисления в SCET сводятся к вычислениям в КХД в светоконусной калибровке. Например, если вы откроете недавние статьи типа Becher, Schwartz (2008) или Becher, Bell (2010), то после выкидывания оттуда красивых слов, останется только КХД в светоконусной калибровке. Короче, как я и сказал, пока никаких упрощений.

Профит будет в том случае, если у вас есть жесткий процесс и выделенная с ним система отсчета, например, распад тяжелой частицы на две легкие, летящие в разных направлениях. Тогда разложение оператора (или офф-шельной амплитуды) по малым компонентам импульсов является по-сути мультипольным разложением по расстояниям. Если после такого мультипольного разложения КХД процессы развиваются для этих частиц независимо, то говорят, что происходит факторизация. На самом деле есть ещё matching, то есть учет жестких коротковолновых поправок, но они всегда факторизуются из-за перенормируемости КХД. А в разных направлениях, соответствующим импульсам первичных частиц, возникают разные копии SCET.

Так вот, начал я продумывать схему доказательства теорем факторизации. На самом деле, для своей последней работы одну такую теорему я уже вроде доказывал. Только я доказательство не опубликовал, а подло сослался на несуществующую работу, которую надеялся быстро дописать. Не написал, и, как оказалось, слава богу.

После трехдневных размышлений я придумал забавную схему: все ведущие по power counting блоки я обозначил за буквы (это типа “алфавит”), ввел правила их комбинации (“орфография”), составные линии получились “словами”, а амплитуда состоит из линий, то есть это “текст”. Решил проверить схему на своей работе, и... “Мля, кажется у меня ошибка в работе! Нету факторизации!”. Перед тем как пойти прыгать с третьего здания KEK (самое высокое), решил ещё чуть-чуть подумать. Слава богу, паника оказалось напрасной. В работе вводятся два оператора:
ξ(n+)A(n+)ξ(n) и ξ(n+)A(n)ξ(n),
(2)
которые генерят степенные поправки к угловому распределению оси траста в двухструйной области. Факторизация и, соответственно, пересуммирование больших логарифмов с помощью SCET возможны, только если эти операторы не интерферируют между собой (в ведущем порядке) и/или не смешиваются с другими операторами, например, с ведущим оператором ξ(n+)ξ(n). Причем ясно, что если в результате matching они смешиваются с этим оператором, то и интерферируют. Единственное, что меня спасло, что размерности этих операторов и ведущего разной четности по p, а в коллинеарной и в жёсткой областях интегрирования у меня остаются только кинематические инварианты размерности p2. То есть для того, чтобы операторы смешивались, в результате петлевых поправок должны возникнуть множители типа (p2)½, что при четной размерности пространства времени невозможно. Короче, повезло мне, что мы живем в четырех измерениях, приблизительно.

Но, как мы знаем с Ромой (и даже статью написали с примером) в нечетномерии ряды из членов типа (p2)k+½, k ∈ N возникают в полный рост.